Enunciado

Traçar o gráfico das funções trigonométricas. Comparar cada conjunto identificando a transformação ocorrida. Identificar domínio, conjunto imagem, máximos e mínimos, crescimento e decrescimento.

d) f x = cos ⁡ x ,   g x = cos ⁡ x + 2 ,   h x = cos ⁡ ( x - 2 )

Passo 1

Então pessoal, de início vamos plotar o gráfico das funções f , g e h que nos foram dadas, tudo bem? A f é uma função cosseno bem conhecida, a g é a mesma função deslocada 2 casas para a esquerda e a h é a mesma função deslocada 2 casas para a direita. Para confirmarmos:

No qual a função em verde é f x = cos ⁡ x ;

A função em azul é f x = cos ⁡ x + 2 ;

A função em laranja é f x = cos ⁡ ( x - 2 ) .

Passo 2

Para facilitar a nossa análise, como são vários pontos para analisar vamos pontuar um de cada vez, tudo bem? Primeiramente temos:

  • Transformações ocorridas:
  • Assim como já descrito no passo 1 , de f para g houve uma translação horizontal para a esquerda, uma vez que há uma soma na variável independente x .

    De f para h já ocorre o contrário, o que houve foi uma translação horizontal para a direita, uma vez que há uma subtração na variável independente x .

  • Domínio:
  • Então galera, todas as três funções possuem o mesmo comportamento, a única coisa que muda é aonde cada uma delas começa no gráfico! Como se tratam de funções periódicas, então podemos assumir qualquer valor para x , que é o nosso domínio. Sendo assim, teremos que:

    D f = D g = D h = R

  • Imagem:
  • A imagem das funções seno, cosseno e tangente são bem conhecidas, uma vez que se tratam de imagens beeem limitadas! Sabemos que as funções seno e cosseno possuem a mesma imagem, são funções que variam de - 1 a 1 , não é mesmo? Sendo assim, teremos:

    I f = I g = I h = - 1 ,   1

    Passo 3

    Agora vamos determinar os máximos e mínimos das funções!

  • Máximos:
  • Sabemos que o período da função cosseno é 2 π , certo? Ademais, a função cosseno é máxima quando vale 1 , assim como vimos no passo anterior. Dessa forma, para a função f :

    f x : 2 k π

    Para as funções g e h é praticamente a mesma coisa, a diferença é que há aquelas constantes na variável, então os máximos serão:

    g x : 2 k π - 2

    h x : 2 k π + 2

    E faz sentido, uma vez que se substituirmos esses valores nas funções obteremos 2 k π pois as constantes sumirão!

  • Mínimos:
  • De forma contrária aos máximos, a função cosseno é mínima quando vale - 1 , assim como vimos no passo anterior. Dessa forma, para a função f :

    f x : 2 k π + π

    Utilizando o mesmo raciocínio que fizemos para as funções g e h nos pontos de máximos:

    g x : 2 k π + π - 2

    h x : 2 k π + π + 2

    Aqui vale ressaltar que k é uma constante inteira, tudo bem?

    Passo 4

    Por fim, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento!

  • Intervalos de crescimento:
  • Os intervalos de crescimento ocorrem quando a função está atingindo seu ponto de máximo, que no caso da nossa função é em 1 . Sendo assim, os intervalos serão em:

    f x : 2 k π + π ,   2 π + 2 k π

    g x : 2 k π - 2 + π ,   2 k π + 2 π - 2

    h x : [ 2 k π + 2 + π ,   2 k π + 2 π + 2 ]

    O raciocínio é exatamente o que utilizamos para determinar os máximos, pessoal!

  • Intervalos de decrescimento:

Os intervalos de decrescimento ocorrem quando a função está atingindo seu ponto de mínimo, que no caso da nossa função é em - 1 . Sendo assim, os intervalos serão em:

f x : 2 k π ,   π + 2 k π

g x : 2 k π - 2 ,   2 k π + π - 2

h x : [ 2 k π + 2 ,   2 k π + π + 2 ]

Que também é o raciocínio que utilizamos para determinar os mínimos, galera! Outra vez vale ressaltar que k é um número inteiro, belê? Ufa! Foi demorado, mas está aí nossa análise completa!

Resposta

Domínio e imagem:

D f = D g = D h = R

I f = I g = I h = - 1 ,   1

Máximos e mínimos:

f x : 2 k π

g x : 2 k π - 2

h x : 2 k π + 2

f x : 2 k π + π

g x : 2 k π + π - 2

h x : 2 k π + π + 2

Intervalos de crescimento e decrescimento:

f x : 2 k π + π ,   2 π + 2 k π

g x : 2 k π - 2 + π ,   2 k π + 2 π - 2

h x : [ 2 k π + 2 + π ,   2 k π + 2 π + 2 ]

f x : 2 k π ,   π + 2 k π

g x : 2 k π - 2 ,   2 k π + π - 2

h x : [ 2 k π + 2 ,   2 k π + π + 2 ]

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