Enunciado

Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente traçar o gráfico da derivada da função, usando o próprio gráfico da função.

Pra isso, ele pediu pra gente usar o mesmo método do Exemplo 1 , que consiste em traçar retas tangentes na curva e estimar sua inclinação. Então, é isso que nós vamos fazer, analisando o formato da nossa curva.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar todas as interceptações em x no gráfico de f ' , para obter todas as retas tangentes que forem horizontais no gráfio de f . Aqui vemos que acontece três vezes:

Isso significa que o gráfico da nossa derivada vai cruzar o eixo x em cada um desses pontos.

Agora vamos procurar por qualquer pontas ou “bicos” no gráfico de f , que possam gerar pontos de descontinuidade no gráfico da derivada f ' .

Repare que a função é contínua em todo domínio, então aqui tudo tranquilo.

Agora, precisamos lembrar que em qualquer intervalo em que f tenha uma tangente com inclinação positiva, o gráfio de f ' será positivo, e que quando a inclinação de f for negativa, o gráfico de f ' será negativo. Além disso, se o gráfico da função for linear, o gráfico de f ' será uma linha horizontal.

Repare que da esquerda para a direita, o gráfico de f tem inclinação negativa. Essa inclinação se torna nula, depois vira positiva de novo até chegar em x = 0 . Em seguida, depois de passar pelo eixo y , temos novamente uma inclinação negativa, seguida de uma inclinação nula (reta horizontal) e termina positiva. Olha só:

Juntanto todo isso e fazendo a correspondência com o gráfico de f , vamos ter o gráfico da nossa derivada logo abaixo:

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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