Enunciado

Trace a curva e calcule seu comprimento:

x = e^t cos t , y = e^t s e n t , 0 <= t <= pi

Passo 1

Traçando a curva no gráfico temos a seguinte figura:

Passo 2

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = int_a^b [[sqrt(1 + (((d y)/(d t))/((d x)/(d t)))^2) (d x)/(d t) d t],[]]

Passando (d x)/(d t) ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Passo 3

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x e y , certo?

x = e^t cos t

d x = e^t cos t - e^t s e n t d t

((d x)/(d t))^2 = e^(2 t) cos^2 t - 2 e^(2 t) cos t s e n t + e^(2 t) s e n^2 t

y = e^t s e n t

d y = e^t cos t + e^t s e n t d t

((d y)/(d t))^2 = e^(2 t) cos^2 t + 2 e^(2 t) cos t s e n t + e^(2 t) s e n^2 t

Passo 4

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = int_0^(pi) sqrt(e^(2 t) cos^2 t - 2 e^(2 t) cos t s e n t + e^(2 t) s e n^2 t + e^(2 t) cos^2 t + 2 e^(2 t) cos t s e n t + e^(2 t) s e n^2 t ) d t

L = int_0^(pi) sqrt(e^(2 t) cos^2 t + e^(2 t) s e n^2 t + e^(2 t) cos^2 t + e^(2 t) s e n^2 t) d t

L = int_0^(pi) sqrt(2 e^(2 t) cos^2 t + 2 e^(2 t) s e n^2 t) d t

Como s e n^2 t + cos^2 t = 1 :

2 e^(2 t) s e n^2 t + 2 e^(2 t) cos^2 t = 2 e^(2 t)

L = int_0^(pi) sqrt(2) e^t d t

L = sqrt(2) e^t (pi)/(0)

L = sqrt(2) ( e^(pi) - 1 )

Resposta

L = sqrt(2) ( e^(pi) - 1 )

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