Enunciado

Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em seguida, calcule a integral.

F x ,   y = x - y   i + x y   j , C é o arco de círculo x 2 + y 2 = 4 percorrido no sentido anti-horário de 2 ,   0 a 0 ,   - 2 .

Passo 1

Galera, vamos observar o gráfico do campo vetorial junto com a curva:

Se percorrermos a curva no sentido anti-horário, parece que as setas dos vetores vão apontando na mesma direção da curva, com exceção de poucas regiões, como em algumas partes do terceiro quadrante. Então isso nos leva a crer que a integral de linha será positiva.

Passo 2

Agora queremos calcular a integral ∫ C F ∙ d r , onde a curva C pode ser representada por:

r t = 2 cos ⁡ t i + 2   s e n   t   j   ,           0 ≤ t ≤ 3 π 2

Então teremos:

F r t = 2 cos ⁡ t - 2   s e n   t   i + 4 cos ⁡ t s e n   t   j

r ' t = - 2   s e n   t   i + 2 cos ⁡ t j

Passo 3

Podemos então escrever a integral assim:

∫ C F ∙ d r = ∫ 0 3 π 2 F r t ∙ r ' t   d t = ∫ 0 3 π 2 - 2   s e n   t   2 cos ⁡ t - 2   s e n   t + 2 cos ⁡ t 4 cos ⁡ t s e n   t   d t = 4 ∫ 0 3 π 2 s e n 2   t - s e n   t cos ⁡ t + 2   s e n   t cos 2 ⁡ t   d t

Se utilizarmos um CAS para calcular a integral, obteremos:

∫ C F ∙ d r = 3 π + 2 3

O resultado deu positivo, como previmos.

Resposta

3 π + 2 3

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4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Onde Fx , y = x 2 - 2 x y ,y 2 - 2 x y e C é a parábola y = x 2 de - 2,4 a 1,1
4. Calcule ∫ C F ⋅ dr → Onded. Fx , y = x 2 + y 2 ,x 2 - y 2 e C é a curva de equação y = 1 - 1 - x de 0,0 a2,0
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P a Q . F → x , y = e - y i → - x e - y j → ;P 0 , 1 ,Q ( 2,0 )
Encontre a integral de linha de f ( x , y ) = y / x ao longo da curva r ( t ) = t 3 i + t 3 j , 1 / 2 ≤ t ≤ 1 .