Enunciado

  1. Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 .
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

E aí, galera! Tudo sussa?

Na parte a) a questão pede que a gente use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com m = n = 2 para estimarmos a área da superfície z = x y + x 2 + y 2 que está limitada entre:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

Nota que essa região escrita acima forma um quadrado [ 0 , 2 ] × [ 0 , 2 ] plano x y . Como o enunciado diz que:

m = n = 2

Significa que temos que dividir nosso quadrado em uma grade 2x2, o que nos deixa com 4 divisões desse quadrado [ 0,2 ] × [ 0,2 ] .

A regra do ponto médio pode ser calculada como:

A ≈ ∑ i = 1 4 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 ∆ A

Resumindo o que precisamos achar aqui: vamos dividir nosso retângulo [ 0 , 2 ] × [ 0 , 2 ] em quatro partes como pede o enunciado e calcularmos seus pontos médios.

Depois nós vamos calcular as derivadas parciais da nossa função em relação a x e a y e vamos somar os termos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2

Para cada ponto médio que encontramos.

Vamos calcular também ∆ A , que é a área de cada um dos quatro retângulos.

Na parte b) vamos usar um sistema para calcular a integral dupla:

A R = ∬ R + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

E comparar os resultados da parte a) e b).

Bora?

Passo 2

Vamos inicialmente tomar quatro quadrados, formando um único quadrado. Desta forma podemos dizer que o ponto médio de cada um desses quadrados será

1 2 , 1 2 , 1 2 , 3 2 , 3 2 , 1 2 e 3 2 , 3 2

onde m = n = 2 .

Passo 3

Vamos calcular:

∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1  

E para isso precisamos achar as derivadas parciais:

z = x y + x 2 + y 2

  • ∂ z ∂ x :
  • Derivando em x e tratando as outras variáveis como constantes:

    ∂ z ∂ x = y + 2 x

  • ∂ z ∂ y :

Derivando em y e tratando as outras variáveis como constantes:

∂ z ∂ y = x + 2 y

Aplicando no nosso termo:

1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2

Passo 4

Calculando Δ A , a região que antes era [ 0 , 2 ] × [ 0 , 2 ] , ou seja, um quadrado de 2 x 2, agora que dividimos em 4, cada quadrado vai ter metade dessa medida nas duas direções, então:

Δ A = 1 ⋅ 1 = 1

Agora que já temos todos os termos de:

A ≈ ∑ i = 1 4 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 ∆ A

Vamos substituir o que encontramos:

A ≈ ∑ i = 1 4 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2 ( 1 )

Agora é só somarmos essa expressão para cada um dos pontos médios que encontramos no passo 2.

≈ 3 2 2 + 3 2 2 + 1 + 5 2 2 + 7 2 2 + 1 + 7 2 2 + 5 2 2 + 1 + 9 2 2 + 9 2 2 + 1

Logo temos

= 22 2 + 78 + 166 2 ≈ 17.619

Passo 5

b) A regra do ponto médio é uma forma de calcular a integral dupla sobre uma região:

A A ≈ ∑ i = 1 4 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2 ( 1 ) ≈ ∬ R 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2   d A

Então, no software jogamos a integral dupla. Como o retângulo é [ 0 , 2 ] × [ 0 , 2 ] , nossos limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 2

E:

0 ≤ y ≤ 2

Com a utilização de um sistema de computação algébrica, temos que

A D = ∫ 0 2 ∫ 0 2 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2   d x   d y ≈ 17.7165

Comparando os resultados, vemos que não são exatamente iguais, mas próximos.

Resposta

  1. A ≈ ∑ i = 1 4 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2 ( 1 ) ≈ 17.619
  2. ∫ 0 2 ∫ 0 2 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2   d x   d y ≈ 17.7165
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e z = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Calcule ∬ D 1 - x 2 - y 2 d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.