Enunciado

  1. Use a Regra do Ponto Médio para integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 .
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) até a quarta casa decimal. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

Vamos inicialmente tomar quatro quadrados, formando um único quadrado. Desta forma podemos dizer que o ponto médio de cada um desses quadrados será ( 1 2 , 1 2 ) , ( 1 2 , 3 2 ) , ( 3 2 , 1 2 ) e ( 3 2 , 3 2 ) , onde m = n = 2 .

Por fim, nesse passo, vamos lembrar da seção 15.1 a regra do ponto médio

∬ R f x , y   d A ≈ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x ¯ , y ¯   Δ A

Na qual x ¯   e   y ¯ são nos pontos médios.

Passo 2

Queremos calcular a área de nossa superfície. Para isso temos que

A D = ∬ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1   d A = ∬ D 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2   d A

Onde aplicando a regra do ponto médio, temos

≈ 3 2 2 + 3 2 2 + 1 + 5 2 2 + 7 2 2 + 1 + 7 2 2 + 5 2 2 + 1 + 9 2 2 + 9 2 2 + 1

Logo temos

= 22 2 + 78 + 166 2 ≈ 1 7 . 619

Passo 3

Com a utilização de um sistema de computação algébrica, temos que

A D = ∫ 0 2 ∫ 0 2 1 + y + 2 x 2 + x + 2 y 2   d x   d y ≈ 1 7 . 7165

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 + y 2 e = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Delimitado por z = x 2 + y 2 e z = 2 y .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - xd yd x
Use um sistema de computação algébrico para determinar o volume exato do sólido.Abaixo da superfície z = x 3 y 4 + x y 2 e acima da região limitada pelas curvas y = x 3 - x e y = x 2 + x para x ≥ 0 .
Calcule ∫ ∫ D 1 - x 2 - y 2d A , onde D é o disco x 2 + y 2 ≤ 1 , identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.