Enunciado

Trace a curva e estime visualmente seu comprimento. A seguir, encontre seu comprimento exato.

y = x 2 + x 3 ,   1 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que estimar visualmente e calcular o comprimento da curva

y = x 2 + x 3

No intervalo

1 ≤ x ≤ 2

Parece complicado?

Primeiro podemos esboçar o gráfico de y no intervalo e assim estimar seu comprimento usando algum método básico.

Já para calcular seu valor exato, fazemos

L = ∫ a b 1 + y ' 2

Onde a e b são as extremidades do intervalo de x .

Veja só!

Passo 2

Primeiro a gente estima visualmente:

Pela figura, o comprimento da curva é suavemente mais largo que a hipotenusa do triângulo formado pelos pontos ( 1,2 ) , ( 1 ,   12 ) , e ( 2,12 ) .

Esse comprimento é mais ou menos 10 2 + 1 2 ≈ 10 , então nós devemos estimar o comprimento para ser 10 .

Show?

Passo 3

Calculando a derivada de y , temos

y = x 2 + x 3 → y ' = 2 x + 3 x 2

Dessa forma...

1 + y ' 2 = 1 + 2 x + 3 x 2 2 .

Então,

L = ∫ 1 2 1 + 2 x + 3 x 2 2 d x ≈ 10.0556

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

L ≈ 10.0556 .

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