Enunciado

Encontre o comprimento da curva para 4 casas decimais. (Use uma calculadora para aproximar a integral.)

r → t = t 2 , t 3 , t 4         0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

O comprimento de uma curva é dado pela seguinte relação:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Para a nossa curva, temos:

x = t 2 ,   y = t ³   e   z = t 4

a = 0   e   b = 2

Passo 2

Calculando as derivadas que estão dentro da raíz na integral:

d x d t = 2 t

d y d t = 3 t ²

d z d t = 4 t ³

Passo 3

Portanto o comprimento da curva é:

L = ∫ 0 2 2 t 2 + 3 t ² 2 + 4 t ³ 2 d t = ∫ 0 2 4 t ² + 9 t 4 + 16 t 6   d t

L ≈ 18,6833

Resposta

L ≈ 18,6833

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