Enunciado

(a) Encontre a função de comprimento de arco para a curva medida a partir do ponto P na direção de aumento de t, em seguida reparametrize a curva em realação ao comprimento de arco para o ponto P, e (b) encontre o ponto 4 unidades ao longo da curva (na direção de aumento de t) para P.

r → t = e t s e n ⁡ t i ^ + e t cos ⁡ t j ^ + 2 ∙ e t k ^           P ( 0,1 , 2 )

Passo 1

A função de comprimento de arco de uma curva é dado por S ( t ) , mas sabemos que sua derivada é:

d S d t = | r → ' t |

Passo 2

a) Como r → t é uma função vetorial a sua derivada corresponde a derivada de cada componente, então calculando a derivada obtemos:

r → ' t = e t s e n ⁡ t + e t cos ⁡ t , e t cos ⁡ t - e t s e n ⁡ t , 2 e t

Calculando d S d t :

d S d t = r → ' t = e t s e n ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 + e t cos ⁡ t - e t s e n ⁡ t 2 + 2 e t 2 = 4 e 2 t = 2 e t

Podemos utilizar o ponto P para encontrar onde começa o limite de integração para poder calcular S ( t ) .

Quando t = 0 , temos exatamente o ponto P. Para verificar isso basta substiruir t = 0 em r → t .

Então a função de comprimento de arco é:

S = S t = ∫ 0 t 2 e t '   d t ' = 2 e t - 2

Desta forma:

e t = S 2 + 1

t = ln ⁡ S 2 + 1

Reparametrizando a curva:

r → t ( S ) = e ln ⁡ S 2 + 1 s e n ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 i ^ + e ln ⁡ S 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 j ^ + 2 e ln ⁡ S 2 + 1 k ^

r → t ( S ) = S 2 + 1 s e n ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 i ^ + S 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 j ^ + 2 S 2 + 1 k ^

Passo 3

b) Quando S = 4 temos que r → t ( S ) é:

r → t ( 4 ) = 4 2 + 1 s e n ⁡ ln ⁡ 4 2 + 1 i ^ + 4 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ 4 2 + 1 j ^ + 2 4 2 + 1 k ^

r → t ( 4 ) = 3 s e n ⁡ ln ⁡ 3 i ^ + 3 cos ⁡ ln ⁡ 3 j ^ + 3 2 k ^

Resposta

a) r → t ( S ) = S 2 + 1 s e n ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 i ^ + S 2 + 1 cos ⁡ ln ⁡ S 2 + 1 j ^ + 2 S 2 + 1 k ^

b) r → t ( 4 ) = 3 s e n ⁡ ln ⁡ 3 i ^ + 3 cos ⁡ ln ⁡ 3 j ^ + 3 2 k ^

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