Usando a fórmula de Euler, mostre que

cos t = (e^(it) + e^(-it)) / 2, sen t = (e^(it) - e^(-it)) / 2i

Passo 1

A fórmula de Euler, que teve uma de suas deduções definidas no Ex.28, é dada por

e ± i t = cos ⁡ t ± i   s e n   t

Passo 2

Vamos tentar mostrar aplicando a nossas fórmula em cada função. Parece ser o mais simples, não?

Então

cos ⁡ t = e i t + e - i t 2 = cos ⁡ t + i   s e n   t + cos ⁡ t - i   s e n   t 2

Já parece ser claro, não

cos ⁡ t = 2 cos ⁡ t 2 = cos ⁡ t

Assim chegamos em uma verdade, logo concluímos que

cos ⁡ t = e i t + e - i t 2

É valida

Passo 3

Agora para s e n   t

sen ⁡ t = e i t - e - i t 2 i = cos ⁡ t + i   s e n   t - cos ⁡ t + i   s e n   t 2

Já parece ser claro, não

sen ⁡ t = 2 i sen ⁡ t 2 i = sen ⁡ t

Assim chegamos em uma verdade, logo concluímos também que

sen ⁡ t = e i t - e - i t 2 i

Também é válida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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