Mostre que W(e^(λt) cos(μt), e^(λt) sen μt) = μ e^(2λt)

Passo 1

A melhor forma de determinarmos um Wroskiano a partir das funções dadas é com base no determinante.

W = d e t f 1 ⋯ f n ⋮ ⋱ ⋮ f 1 n ⋯ f n n

Passo 2

Queremos calcular o Wroskiano dado, então temos que

W = d e t e λ t cos ⁡ μ t e λ t   s e n   μ t λ e λ t cos ⁡ μ t - μ e λ t s e n   μ t λ e λ t sen ⁡ μ t + μ e λ t c o s   μ t

Resolvendo o determinante, temos

e λ t cos ⁡ μ t λ e λ t sen ⁡ μ t + μ e λ t c o s   μ t - e λ t   s e n   μ t ( λ e λ t cos ⁡ μ t - μ e λ t s e n   μ t )

Sim .. parece ser extenso, mas a gente consegue. Seguindo

λ e 2 λ t cos ⁡ μ t s e n   μ t + μ e 2 λ t cos 2 ⁡ μ t - λ e 2 λ t s e n   μ t cos ⁡ μ t + μ e 2 λ t s e n 2 μ t

O primeiro e terceiro termos se anulam e ficamos com

μ e 2 λ t cos 2 ⁡ μ t + s e n 2 μ t = μ e 2 λ t

Como queríamos mostrar. Parece que não era tão difícil assim né

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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