Enunciado

Usando retângulos cujas alturas sejam dadas pelo valor da função no ponto médio da base do retângulo (regra do ponto médio), estime a área sob as curvas das seguintes funções, utilizando primeiro, dois e depois quatro, retângulos.

5. f x = x 2 entre x = 0 e x = 1

Passo 1

O gráfico da função é:

Utilizando dois retângulos de base 1/ 2 :

Vamos calcular a altura que é igual ao valor da função no ponto médio do retângulo:

Primeiro:

f 1 / 4 = 1 4 2

f 1 / 4 = 1 16

Segundo:

f 3 / 4 = 3 4 2

f 3 / 4 = 9 16

Calculando a área:

A = 1 2 ⋅ 1 16 + 9 16

A = 5 16

Passo 2

Quatro retângulos de base 1 / 4   , vamos calcular suas alturas:

O primeiro:

f 1 8 = 1 8 2

f 1 8 = 1 64

O segundo:

f 3 8 = 3 8 2

f 3 8 = 9 64

O terceiro:

f 5 8 = 5 8 2

f 5 8 = 25 64

O quarto:

f 7 8 = 7 8 2

f 7 8 = 49 64

Agora fazendo o cálculo da área vamos obter:

A = 1 4 ⋅ 1 64 + 9 64 + 25 64 + 49 64

A = 1 4 84 64

A = 21 64

Resposta

2 retângulos: A = 5 16

4 retângulos: A = 21 64

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