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Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?

f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 0

rot ⁡ f → = ∂ 0 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ 0 ∂ y - ∂ y 2 - x ∂ z i → + ∂ x 2 + y ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ y 2 - x ∂ x - ∂ x 2 + y ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + - 1 - 1 k →

rot ⁡ f → = - 2 k →

Podemos observar que rot ⁡ f → = - 2 k → ≠ 0 → , portanto o campo vetorial é não conservativo em R 2 e f → não admite uma função potencial f x , y .

Resposta

rot ⁡ f → = - 2 k →

Campo vetorial não é conservativo em R 2 , f → não admite uma função potencial f x , y .

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