Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?

g) f → x , y , z = - sen ⁡ x + cos ⁡ x , z , y em R 3

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ y ∂ y - ∂ z ∂ z i → + ∂ - sen ⁡ x + cos ⁡ x ∂ z - ∂ y ∂ x j → + ∂ z ∂ x - ∂ - sen ⁡ x + cos ⁡ x ∂ y k →

rot ⁡ f → = 1 - 1 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos observar que rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo vetorial é conservativo em R 3 e f → admite uma função potencial f x , y , z .

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em R 3 , f → admite uma função potencial f x , y , z .

Exercícios de Livros Relacionados

6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetoria
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetoria
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetoria