Enunciado

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

∬ S f → ⋅ n → d S

Sendo f → = 2 x i ^ + 3 y j ^ + 4 z k ^ e S a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides

z = x 2 + y 2 - 9 e z = - 2 x 2 - 2 y 2 + 9

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Vamos começar primeiro descrever o nosso sólido.

A primeira superfície é um paraboloide de abertura 1 , começando em z = - 9 . O segundo paraboloide é de abertura 2 apontado para baixo e começando em z = 9 . A intersecção ocorre em

z = - 2 x 2 + y 2 + 9 = - 2 z + 9 + 9

Assim

3 z = - 9 → z = - 3

Então os paraboloides se interceptam em z = - 3 .

Assim temos que nossa integral vai ser definida como

∭ T ∇ ⋅ f → d V = = ∭ T 1 ∇ ⋅ f → d V 1 + = ∭ T 2 ∇ ⋅ f → d V 2

Passo 3

Vamos descrever os limites de integração de cada sólido separadamente. Entretanto para ambos os paraboloides usaremos coordenadas polares.

Para o paraboloide z = x 2 + y 2 - 9

Temos

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = r 2 - 9

Como z varia entre - 9 e - 3 , temos então que r ∈ [ 0 , 6 ] , enquanto θ ∈ 0,2 π .

Além disso temos que o Jacobiano da nossa transformação é r

Agora o paraboloide z = - 2 x 2 + y 2 + 9

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = - 2 r 2 + 9

E sabendo como z varia, temos que r ∈ 6 , 0 e θ ∈ 0,2 π .

E aqui também temos o Jacobiano igual a r

E por último vamos calcular o divergente

∇ ⋅ f → = ∂ 2 x ∂ x + ∂ 3 y ∂ x + ∂ 4 z ∂ x = 9

Passo 4

Assim nossa integral pode ser escrita como

9 ∫ 0 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 r 2 - 9 r d z d θ d r + ∫ 6 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 - 2 r 2 + 9 r d z d θ d r =

= 18 π ∫ 0 6 r - 2 r 2 + 9 - r 2 + 9 d r = 18 π [ ∫ 0 6 ( - 3 r 3 + 18 r ) d r

Que se resume em

= 18 π - 3 r 4 4 + 9 r 2 0 6

= 18 π - 27 + 54 = 486 π

Resposta

486 π

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