Use ∫ b a f x g x   d x     = f x 0 ∫ b a g x   d x     p a r a   p r o v a r   a   d e s i g u a l d e  

∫ 0 1 x   c o s   x x 2 + 1     d x     ≤ ∫ 0 1 x   d x      

Passo 1

Temos que provar que f x 0   < 1 .     P o r q u e   A s s i m     f x 0 ∫ b a g x   d x     < ∫ b a g x   d x    

Passo 2

Sabendo do teorema f x 0 =   ∫ b a f x   d x     a - b

Neste caso teremos que quebrar f ( x ) em 2 partes. Pois :

f x = ∫ 0 1   c o s   x x 2 + 1     d x     ,       e n t ã o u s a r e m o s   o   t e o r e m a   p a r a   d i z e r  

∫ 0 1   c o s   x x 2 + 1     d x = j     x 0 ∫ 0 1 1 x 2 + 1     d x   ,     o n d e   j x = cos ⁡ x

  j     x 0 =   ∫ 0 1 cos ⁡ x   d x 1 - 0 = s e n 1 - s e n   0 = 0,84

l o g o   f x = ∫ 0 1   c o s   x x 2 + 1     d x = 0,84   ∫ 0 1 1 x 2 + 1     d x  

Passo 3

Calcular o valor médio de ∫ 0 1 1 x 2 + 1     d x

  f x 0 = 0,84       ∫ 0 1 1 x 2 + 1     d x 1 - 0 = 0,84   .   a r c t g   x ,     x   n o   i n t e r v a l o   1,0   f x 0 =   0,84   .   π 4 = 0,66

Resposta

0,66 ∫ 0 1 x   d x     < ∫ 0 1 x   d x    

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