Use ∫ b a f x g x   d x     = f x 0 ∫ b a g x   d x     p a r a   p r o v a r   a   d e s i g u a l d e  

∫ - 1 / 2 1 / 2 s e n 2 π x c o s ⁡ ( π x )   d x     ≤ ∫ - 1 / 2 1 / 2 c o s ⁡ ( π x )   d x      

Passo 1

Temos que provar que f x 0   < 1 .     P o r q u e   A s s i m     f x 0 ∫ b a g x   d x     < ∫ b a g x   d x    

Passo 2

Calculando f x 0

f x 0 =   ∫ b a f x   d x     ( a - b )

Sabendo que s e n x 2 =     (1-2 cos( 2x)) 2

Passo 3

  f x 0 =     ∫ - 1 2 1 2 s e n 2 π x   d x     1 2 -   - 1 2

o n d e   ∫ - 1 2 1 2 1-2cos(2x) 2 = 1 2   x - s e n 2 x ,       x   n o   i n t e r v a l o   1 2 ,   - 1 2   f x 0 = 1 2   ( 1 2 - - 1 2 -   s e n 1 - s e n - 1  

Como sen é função par, ou seja , sem(x) = sen(-x) , logo   s e n 1 - s e n - 1 = 0

Assim f x 0 = 1 2

Resposta

1 2 ∫ - 1 / 2 1 / 2 c o s ⁡ ( π x )   d x     < ∫ - 1 / 2 1 / 2 c o s ⁡ ( π x )   d x    

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