Enunciado

Ache uma equação de reta tangente ao gráfico da função cosseno no ponto

  1. x = π 2
  2. x = - π 2
  3. x = π 6

Passo 1

Bom, a questão pede para encontrarmos a reta tangente, ou seja, a reta que encosta em um único ponto da função no gráfico:

No caso da letra a) esse ponto tem coordenada x = π 2 . O valor da nossa função nesse ponto é:

f x = c o s x

f π 2 = c o s π 2 = 0

Passo 2

Agora que já sabemos os valores de x e y no gráfico, devemos encontrar a inclinação dessa reta. Para isso, calculamos o valor da derivada nesse mesmo ponto:

f ' x = - s e n x

No ponto x = 0 :

f ' π 2 = - s e n π 2 = - 1

Passo 3

Já temos tudo para escrever a equação da reta que passa no ponto ( π 2 , 0 ) da nossa função cosseno, a equação da reta se escreve assim:

y - y p = T ( x - x p )

T é o valor da inclinação da reta que calculamos antes, que no caso do item a) é - 1 . E x p e y p são as coordenadas do ponto que encontramos onde passa a reta, nossa equação então fica:

y - 0 = - 1 ( x - π 2 )

E isso é:

y = π 2 - x

E a reta no gráfico ficará assim:

Passo 4

Para as letras b) e c) repetimos o mesmo processo, a letra b) o valor da função em que x = - π 2 é

f - π 2 = c o s   - π 2 =   0

E a inclinação, calculada pela derivada da função:

f ' - π 2 = - s e n - π 2 = 1

Tendo o valor da inclinação e do ponto   - π 2 ,     0 , já podemos escrever a equação da reta:

y - 0 =   1 x - - π 2

y = x + π 2

Passo 5

E por fim, na letra c), com x =   π 6 a função fica:

f   π 6 = c o s   π 6 =   3 2

E a inclinação, será:

f '   π 6 = - s e n   π 6 =   - 1 2

E a equação da reta tangente ao ponto     π 6 ,     3 2 será:

y - 3 2 = - 1 2 x - π 6

y = 1 2 x - π 6 + 3

Resposta

  1. y = π 2 - x
  2. y = x + π 2
  3. y = 1 2 x - π 6 + 3
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