Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido.

Um cone circular reto de altura h e base com raio r .

Passo 1

Para calcularmos o volume do sólido de rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = f ( x ) de a até b é

V = ∫ a b 2 π x f x d x ,     o n d e   0 ≤ a < b

Então, para o cone, temos:

Passo 2

Como a função f x é a reta que passa pelos pontos 0 , h e r , 0 , sua equação é dada por:

f x = y = m x + n

Onde

m = f r - f 0 r - 0 = 0 - h r = - h r

Então:

f x = y = - h r x + n

Para o ponto r , 0 :

f r = 0 = - h r r + n

n = h

Então a reta é dada pela equação:

f x = - h r x + h

Passo 3

Então, queremos o volume da rotação de f de 0 a r :

V = ∫ a b 2 π x f x d x

V = ∫ 0 r 2 π x - h r x + h d x

V = ∫ 0 r 2 π x - h r x + h d x

V = 2 π h ∫ 0 r - x 2 r + x d x

V = 2 π h - x 3 3 r + x 2 2 r 0

V = 2 π h - r 3 3 r + r 2 2 - 0

V = 2 π h r 2 6

V = π r 2 h 3

Resposta

V = π r 2 h 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume d
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtid
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtid
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a r
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a r
Nos exercícios 31-36, determine os volumes dos sólidos obtidos com a r
8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triang
8 - Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triang