Enunciado

Use as cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido.

O toro sólido do Exercício 63 da Seção 6.2.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que calculemos o volume do toro sólido abaixo:

Para isso, a questão quer que utilizemos o método de cascas cilíndricas.

Mas que método é esse??

Bom... basicamente o volume V de um sólido de rotação por esse método é dado por:

V = �� a b 2 π ⋅ y ⋅ g y d y

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Então... o formato dessa figura é como se fosse um anel de guardanapo.

Por simetria, o volume desse anel obtido perfurando um buraco de raio r através de uma esfera de raio R é duas vezes o volume obtido pela rotação da área sobre o eixo x e abaixo da curva y = R 2 - x 2 (a equação da metade superior da seção transversal da esfera), entre x = r e x = R , sobre o eixo x .

Assim, temos a seguinte figura:

Passo 3

Sendo assim, nosso volume V é dado por:

V = 2 ∫ r a i o   i n t e r i o r r a i o   e x t e r i o r 2 π r h   d x ∴

V = 2 * 2 π ∫ r R x R 2 - r 2 d x ∴

V = 4 π - 1 3 R 2 - x 2 3 2 r R ∴

V = 4 3 π R 2 - r 2 3 2

Passo 4

Usando o Teorema de Pitágoras, temos:

R 2 - r 2 = 1 2 h ²

Assim, o volume do anel de guardanapo é:

4 3 π 1 2 h 3 = 1 6 π h ³

Que é independente de R e r .

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

V = 1 6 π h 3

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