Enunciado

Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.

∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n

Passo 1

Jogando em um software matemático

1 n 3 - n = 1 2 1 n - 1 + 1 n + 1 - 1 n

Passo 2

Essa vai ser uma telescópica um pouco mais difícil de achar o padrão, mas vamos pensar o seguinte, os termos negativos ( - 1 / n ) para cancelar, vão usar uma metade no termo anterior e uma metade no próximo termo, consegue visualizar? Vamos mostrar a soma

s n = a 2 + a 3 + a 4 + … + a n - 2 + a n - 1 + a n

s n = 1 2 1 1 + 1 3 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 4 - 1 3 + 1 2 1 3 + 1 5 - 1 4 + …

+ 1 2 1 n - 3 + 1 n - 1 - 1 n - 2 + 1 2 1 n - 2 + 1 n - 1 n - 1 + 1 2 1 n - 1 + 1 n + 1 - 1 n

Vamos tomar o exemplo do ( - 1 / 3 ) que é nossa primeira fração negativa que vai cancelar, ela vai usar uma parte do termo anterior e um do próximo

s n = 1 2 1 1 + 1 3 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 4 - 1 3 + 1 2 1 3 + 1 5 - 1 4 + …

+ 1 2 1 n - 3 + 1 n - 1 - 1 n - 2 + 1 2 1 n - 2 + 1 n - 1 n - 1 + 1 2 1 n - 1 + 1 n + 1 - 1 n

Dessa forma vai acontecer com os outros, então o que não ira cancelar? A primeira e a ultima, pois não tem termos anterior e posterior, respectivamente, e das metades vai sobrar as primeiras dos dois primeiros termos e os dois dos dois últimos, ficando com

s n = 1 2 1 - 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 n + 1 2 1 n + 1 - 1 n

s n = 1 2 - 1 2 + 1 4 + 1 2 n + 1 2 n + 1 - 1 n

s n = 1 4 + 1 2 n + 1 - 1 2 n

Passo 3

Para achar a soma, vamos calcular o limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 2 n + 1 - 1 2 n = 1 4

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∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n = 1 4

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n = 1 4

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