Enunciado

Encontre o valor de c tal que

∑ n = 0 ∞ e n c = 10

Passo 1

Fala aí, beleza?! Essa questão pede para calcularmos o valor de c   onde o somatório do enunciado é igual a 10 . Vamos precisar fazer duas coisas para encontrar o valor de c :

  1. Reconhecer a expressão do enunciado como uma série geométrica.
  2. Como temos o valor do somatório que é 10, vamos utilizar a soma de série geométrica para encontrar o valor de c .

Então vamos lá?!

Passo 2

Primeiramente temos que a série

∑ n = 0 ∞ e n c = ∑ n = 0 ∞ e c n

É uma série geométrica com a = 1 e r = e c .

Para uma série geométrica, sabemos que a soma dos termos é calculável usando a fórmula

a 1 - r

desde que   ∣ r ∣ < 1 . Isso garante que a série converge para um valor finito. Portanto a série tem um valor calculável se r < 1 . Assim, aplicamos essa fórmula à série geométrica com a = 1 e r = e c , o que nos dá

1 1 - e c

Assim,

∑ n = 0 ∞ e c n = 1 1 - e c

Beleza?!

Passo 3

Se sabemos o valor da série em função de c , basta igualar a 10

1 1 - e c = 10

Assim,

1 = 10 ( 1 - e c )

Fazendo a distributiva, temos

1 = 10 - 10 e c

Subtraindo 10 dos dois lados

- 9 = - 10 e c

Invertendo os lados e dividindo por - 10

e c = - 9 - 10

Para isolarmos o c vamos aplicar o logaritmo natural, que é a função inversa da exponencial

ln ⁡ e c = ln ⁡ 9 10

Finalmente

c = ln ⁡ ( 0,9 )

Show de bola?!

Resposta

c = ln ⁡ ( 0,9 )

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