Enunciado

Use um computador para investigar a família de superfícies z = x 2 + y 2 + c x y . Em particular, você deve determinar os valores de transição para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro.

Passo 1

Vamos analisar os gráficos para alguns valores de c .

Para c = 0

Para c = 1

Para c = 2

Para c = 3

Para c = - 1

Para c = - 2

Para c = - 3

Podemos ver que o comportamento muda de maneira similar para valores de c positivos e negativos, porém em uma reta diferente.

De maneira geral para c < 2 temos um paraboloide padrão da forma ( x 2 + y 2 ) , mas achatada, dependendo do valor de c .

Para c = 2 temos uma elipse esticada, da maneira como uma função com uma das variáveis ao quadrado e a outra constante (ex: z = x 2 , superfície), mas rotacionado em uma direção dependendo do sinal de c .

Para c > 2 temos uma função que se comporta como um paraboloide padrão em uma direção e como um paraboloide negativo na direção perpendicular. Essas direções dependem do sinal de c .

Pela analise, podemos dizer que o ponto de transição é c = 2 .

Resposta

c = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe as curvas de nível e determine a imagem. f x , y = x y - 1
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem. f x , y = x - y x + y
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem. f x , y = x y x 2 + y ² ²
Um ponto P descreve uma curva sobre a superíıcie z=x y de modo que a sua proje¸c˜ao Q sobre o plano xy descreve a curva x = 5 - t , y= t ²+3ez= 0 ² . Determine as alturas máxima e mínima (em relação a
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também os ponrots em que esses valores são atingidos f x , y = x yeA = I R ² ²