Use a continuidade para calcular o limite.

lim x → 4 ⁡ 5 + x 5 + x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para resolver um limite usando a propriedade da continuidade de funções. Essa propriedade é dada pelo teorema 8 apresentado na seção do livro:

“Se f for contínua em b e lim x → a ⁡ g ( x ) = b , então lim x → a ⁡ f g x = f ( lim x → a ⁡ g ( x ) ) = f ( b )

Em outras palavras, o que o teorema diz é que se f for contínua, o valor do limite será o mesmo que o valor da função no ponto.

Passo 2

Vamos usar primeiro a propriedade do quociente:

lim x → 4 ⁡ 5 + x 5 + x

=   lim x → 4 ⁡ 5 + x lim x → 4 ⁡ 5 + x

O próximo passo será calcular cada limite separadamente.

Passo 3

O limite do numerador será

lim x → 4 ⁡ 5 + x = lim x → 4 ⁡ 5 + lim x → 4 ⁡ x = 5 + lim x → 4 ⁡ x  

Agora vamos usar a propriedade da continuidade. Como x é contínua podemos substituir diretamente o valor de x , segue que

lim x → 4 ⁡ x = lim x → 4 ⁡ x = 4 = 2

Assim,

lim x → 4 ⁡ 5 + x = 5 + 2 = 7

Passo 4

Aplicando a propriedade da continuidade também para o denominador temos que

lim x → 4 ⁡ 5 + x = lim x → 4 ⁡ 5 + x = 5 + 4 = 3

Assim, o limite pedido será

lim x → 4 ⁡ 5 + x 5 + x =   lim x → 4 ⁡ 5 + x lim x → 4 ⁡ 5 + x = 7 3

Resposta

R: 7 / 3 .

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