Enunciado

Use a continuidade para calcular o limite.

underset(x -> 4)(lim) (5 + sqrt(x))/(sqrt(5 + x))

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado pede para resolver um limite usando a propriedade da continuidade de funções. Essa propriedade é dada pelo teorema 8 apresentado na seção do livro:

“Se f for contínua em b e underset(x -> a)(lim) g ( x ) = b , então underset(x -> a)(lim) f (g (x)) = f ( underset(x -> a)(lim) g ( x ) ) = f ( b )

Em outras palavras, o que o teorema diz é que se f for contínua, o valor do limite será o mesmo que o valor da função no ponto.

Passo 2

Vamos usar primeiro a propriedade do quociente:

underset(x -> 4)(lim) (5 + sqrt(x))/(sqrt(5 + x))

= (underset(x -> 4)(lim) 5 + sqrt(x))/(underset(x -> 4)(lim) sqrt(5 + x))

O próximo passo será calcular cada limite separadamente.

Passo 3

O limite do numerador será

underset(x -> 4)(lim) 5 + sqrt(x) = underset(x -> 4)(lim) 5 + underset(x -> 4)(lim) sqrt(x) = 5 + underset(x -> 4)(lim) sqrt(x)

Agora vamos usar a propriedade da continuidade. Como sqrt(x) é contínua podemos substituir diretamente o valor de x , segue que

underset(x -> 4)(lim) sqrt(x) = sqrt(underset(x -> 4)(lim) x) = sqrt(4) = 2

Assim,

underset(x -> 4)(lim) 5 + sqrt(x) = 5 + 2 = 7

Passo 4

Aplicando a propriedade da continuidade também para o denominador temos que

underset(x -> 4)(lim) sqrt(5 + x) = sqrt(underset(x -> 4)(lim) 5 + x) = sqrt(5 + 4) = 3

Assim, o limite pedido será

underset(x -> 4)(lim) (5 + sqrt(x))/(sqrt(5 + x)) = (underset(x -> 4)(lim) 5 + sqrt(x))/(underset(x -> 4)(lim) sqrt(5 + x)) = (7)/(3)

Resposta

R: 7 // 3 .

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