Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 5 = 1

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te auxiliando nesta resolução.

Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite. A definição precisa de limite diz que lim x → a ⁡ f ( x ) = L se

“Para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 tal que se 0 < x - a < δ , então f x - L < ϵ

Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número ϵ > 0 , achar um outro número δ (que será dado em função de ϵ ) que satisfaça a relação dada.

Passo 2

Neste passo vamos conjecturar um valor para δ como se estivéssemos fazendo um esboço.

Seja ϵ > 0 um número dado, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - a < δ então f ( x ) - L < ϵ

Como neste caso L = 1 , a = 2 e f x = x 2 - 4 x + 5 , devemos achar δ tal que

se 0 < x - 2 < δ então x 2 - 4 x + 5 - 1 < ϵ

Assim, devemos achar δ > 0 tal que

se 0 < x - 2 < δ então | x 2 - 4 x + 4 | < ϵ

Devemos agora procurar uma relação para δ que satisfaça o exposto acima. Notemos que

x 2 - 4 x + 4 = x - 2 2

Assim, devemos ter que se 0 < x - 2 < δ , então x - 2 2 < ϵ . Tomaremos então δ 2 = ϵ , ou ainda, δ = ϵ . No próximo passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstrar o limite.

Passo 3

Se tomarmos δ = ϵ , temos que se 0 < x - 2 < δ = ϵ , então x - 2 2 = | x 2 - 4 x + 4 | < δ 2 = ϵ . Provamos assim que o limite existe e vale 1 .

Resposta

Demonstração.

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Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.37) lim x → 5 ⁡ x ² - 3 x = 1 0 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.35) lim x → 2 ⁡ x ² + 2 x - 1 = 7 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.36) lim x → - 3 ⁡ x ² = 9 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.34) lim x → 3 ⁡ x ² - 9 x - 3 = 6 ²
Prove que lim x → a ⁡ x ² = a ² ² ², se a for qualquer número negativo.