Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que a equação da esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que z = x 2 + y 2 temos:

x 2 + y 2 + x 2 + y 2 = 1

Logo:

x 2 + y 2 = 1 2

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

r 2 = 1 2

r = 2 2

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 1 - r 2 - r ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r = - 1 2 1 - r 2 3 2 3 2 - r 3 3 0 2 2

∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r = - 1 3 1 - 2 2 2 3 / 2 + 2 2 3 - 1

∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r = 1 6 2 - 2

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 1 - r 2 - r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ = 1 6 2 - 2 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ = 1 6 2 - 2 2 π

∫ 0 2 π 1 6 2 - 2 d θ = π 3 2 - 2

Portanto o volume vale:

V = π 3 2 - 2

Resposta

V = π 3 2 - 2

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Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule ∫ ∫ D e x + y x - y x - y 2 d x d y , onde D = x , y ∈ R 2 1 ≤ x - y 2 ≤ 4 ,y ≤ 0ex + y ≥ 0
Calcule a integral dupla ∫ ∫ D d x d y p 2 + x 2 + y 2 p Onde: D = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ a 2 } .
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Calcule as integrais sobre B 1 e B 2 , e use b ) para mostrar que I a tende para π quando a tende para + ∞ . Isto prova que ∫ 0 + ∞ e - u 2 d u = π 2 .