Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Limitado pelo paraboloide z = 6 - x 2 - y 2 e z = 2 x 2 + 2 y 2 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de qu   z = 2 x 2 + 2 y 2 e z = 6 - x 2 - y 2 temos:

6 - x 2 - y 2 = 2 x 2 + 2 y 2

x 2 + y 2 = 2

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

r 2 = 2

r = 2

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 6 - x 2 - y 2 - 2 x 2 + 2 y 2 d A

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 6 - 3 x 2 - 3 y 2 d A

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 6 - 3 r 2 ⋅ r d r d θ

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r = 6 r 2 2 - 3 r 4 4 0 2

∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r = 6 2 2 2 - 3 4 2 4

∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r = 12 2 - 12 4 = 3

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 6 r - 3 r 3 d r d θ = ∫ 0 2 π 3 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 3 d θ = 3 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 3 d θ = 3 2 π

∫ 0 2 π 3 d θ = 6 π

Portanto o volume vale:

V = 6 π

Resposta

V = 6 π

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Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:b) Círculo centrado em ( a ,0 ) de raio a .
Calcular ∬ R d x d y , onde R é delimitada pela elipse 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 . Interpretar geometricamente.
Calcular ∬ R cos ⁡ x 2 + 9 y 2 d x d y , sendo R dada por x 2 + 9 y 2 ≤ 1 e x ≥ 0 .
Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região interna à circunferência x 2 + y 2 = 4 y e externa à circunferência x 2 + y 2 = 2 y .
Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:c) Círculo centrado em ( 0 ,a ) de raio a .