Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 23
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Uma esfera d raio .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
Em coordenadas polares, temos que a equação da esfera é dada por:
Onde:
Sendo assim, quando nos é dada a condição de que temos:
Sabemos que , logo:
E quando , temos:
Sabemos que o volume do sólido é dado por:
Onde será a região delimitada por:
Passo 2
Agora é só desenvolver. Como:
Temos que:
Por simetria, podemos dizer que:
Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar integração por substituição. Chamaremos , logo :
Avaliando os limites de integração, temos:
Logo:
Resolvendo, agora, temos:
Portanto o volume vale:
Resposta
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1)Calcular ∬ R x 2 + y 2 2d xd y onde R é a região da Figura 7.32.
3) Calcular ∬ R d xd y 1 + x 2 + y 2 onde R é a região da Figura 7.34.
5) Usando coordenadas polares, calcular b) ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y
5) Usando coordenadas polares, calcular ∫ 0 4 ∫ 0 4 y - y 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y
Calcular ∬ R e 2 x 2 + y 2 d x d y , sendo R o círculo x 2 + y 2 ≤ 4 .