Enunciado

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.

Uma esfera d raio a .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Em coordenadas polares, temos que a equação da esfera é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Onde:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Sendo assim, quando nos é dada a condição de que x 2 + y 2 + z 2 = a 2 temos:

z = ± a 2 - x 2 - y 2

Sabemos que x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = r 2 , logo:

z = ± a 2 - r 2

E quando z = 0 , temos:

r = a

Sabemos que o volume do sólido é dado por:

∬ D z d A

Onde D será a região delimitada por:

0 ≤ r ≤ a ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é só desenvolver. Como:

d A = r d r d θ

Temos que:

z = ± a 2 - r 2

Por simetria, podemos dizer que:

z = 2 a 2 - r 2

V = ∬ D z d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 a 2 - r 2 ⋅ r d r d θ

Resolvendo a integral de dentro, temos que aplicar integração por substituição. Chamaremos a 2 - r 2 = t , logo d t = - 2 r d r :

Avaliando os limites de integração, temos:

r = 0 → t = a 2

r = a → t = 0

∫ 0 a 2 a 2 - r 2 ⋅ r d r = ∫ a 2 0 - t d t

- ∫ a 2 0 t 1 2 d t = - 2 t 3 / 2 3 a 2 0

- ∫ a 2 0 t 1 2 d t = - 2 3 0 3 / 2 - a 2 3 / 2

- ∫ a 2 0 t 1 2 d t = 2 3 a 3

Logo:

∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 a 2 - r 2 ⋅ r d r d θ = ∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ

Resolvendo, agora, temos:

∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ = 2 3 a 3 θ 0 2 π

∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ = 2 3 a 3 2 π

∫ 0 2 π 2 3 a 3 d θ = 4 π 3 a 3

Portanto o volume vale:

V = 4 π 3 a 3

Resposta

V = 4 π 3 a 3

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