Calcular ∬ R e 2 x 2 + y 2 d x d y , sendo R o círculo x^2 + y^2 <= 4 .

Passo 1

Temos que os limites são dados por:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤   θ ≤ 2 π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 e 2 r 2 ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 r e 2 r 2 d r = e 2 r 2 4

Aplicando os limites:

e 8 4 - 1 4 = e 8 - 1 4    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π e 8 4       d θ = e 8 4 θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 e 8 - 1 4 = ( e 8 - 1 ) π 2    

Resposta

( e 8 - 1 ) π 2

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