Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área líquida sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x ,   - 1,1 , confira sua resposta com um argumento geométrico simples.

Passo 1

Segundo a definição 5.4.5, a área líquida entre a curva de f ( x ) em [ a , b ] , em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 1 + 1 n = 2 n

x k * = - 1 + 2 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n - 1 + 2 k n 2 n  

A =   lim n → ∞ ⁡ 2 n ∑ k = 1 n - 1 + 2 k n

A = l i m n → ∞ 2 n ∑ k = 1 n - 1 + 2 n ∑ k = 1 n k

Vamos separar e calcular os somatórios agora...

A = l i m n → ∞ 2 n - 1 n + 2 n n n + 1 2  

A =   l i m n → ∞ 2 n   - n + n + 1

A = l i m n → ∞ 2 n  

A = 0

Passo 3

Beleza, vamos ver por que a área deu zero...

Olha aí! A parte positiva é igual a parte negativa! Ou seja, as áreas se anulam, gerando uma área líquida igual a zero😉

Resposta

A = 0

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