Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = x 2 ;   0,1

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

x k * = 1 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 1 k - 1 2 n 2 1 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n k 2 - k + 1 4 n 2 1 n  

A =   l i m n → ∞ 1 n 1 n 2 ∑ k = 1 n k 2 - 1 n 2 ∑ k = 1 n k + 1 4 n 2 ∑ k = 1 n 1

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A =   l i m n → ∞ 1 n 1 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 - 1 n 2 n n + 1 2 + 1 4 n 2 n

A = l i m n → ∞ 1 n 2 n 2 + 3 n + 1 6 n - 1 2 n n + 1 + 1 4 n  

A =   l i m n → ∞ 1 n 1 n 3 + 1 2 + 1 6 n - 1 2 - 1 2 n + 1 4 n

A =   l i m n → ∞ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 - 1 2 n + 1 4 n 2

A = 1 3

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 1 3

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