Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 2 x ;   0 , 4

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 4 - 0 n = 4 n

x k * = 4 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 2 4 k - 1 2 n 4 n  

A = l i m n → ∞ ∑ k = 1 n 8 k - 1 2 n 4 n  

A =   l i m n → ∞ 4 n ∑ k = 1 n 8 k n - 4 n

A =   l i m n → ∞ 4 n 8 n ∑ k = 1 n k - 4 n   ∑ k = 1 n 1

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A =   l i m n → ∞ 4 n 8 n n n + 1 2 - 4 n n

A =   l i m n → ∞ 4 n 8 n 2 + 4 - 4

A = l i m n → ∞ 16 + 16 n - 16 n  

A = 16

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 16

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