Enunciado

Use a definição de derivadas parciais como limites ( 4 ) para achar f x ( x , y ) e f y ( x , y ) .

39-

f x , y = x 2 - x y + 2 y 2

Passo 1

Pelo teorema 4 na página 909 temos que f x ( x , y ) vale:

f x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f ( x , y ) h

Fazendo esse limite temos:

f x x , y = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x + h y + 2 y 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

f x x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - x y - y h + 2 y 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

f x x , y = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 - y h h

f x x , y = l i m h → 0   2 x + h - y = 2 x - y

Passo 2

Agora para a definição de f y :

f y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f ( x , y ) h

Logo:

f y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 - x y + h + 2 y + h 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

f y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 - x y - x h + 2 y 2 + 2 y h + h 2 - x 2 + x y - 2 y 2 h

f y x , y = lim h → 0 ⁡ - x h + 2 y 2 + 4 y h + 2 h 2 - 2 y 2 h

f y x , y = lim h → 0 ⁡ 4 y + 2 h - x = 4 y - x

Não tem muito o que falar, só sentir hahaha espero que vocês saibam o conceito de derivada ele é bem bonito.

Resposta

f x x , y = 2 x - y

f y x , y = 4 y - x

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