Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R^() (x)/(x^2 + y^2) d A , R = [1 , 2] xx [ 0 , 1 ]

Passo 1

Pessoal, primeiro vamos escrever a integral dupla na forma seguinte:

int_0^1 int_1^2 (x)/(x^2 + y^2) d x d y

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^1 (int_1^2 (x)/(x^2 + y^2) d x) d y = int_0^1 ([(ln (x^2 + y^2))/(2)]_1^2) d y = int_0^1 (1)/(2) (ln (4 + y^2) - ln (1 + y^2)) d y =

(1)/(2) [int_0^1 ln (4 + y^2) d y - int_0^1 ln (1 + y^2) d y]

Passo 2

Galera, pra achar nosso resultado, ainda temos que calcular duas integrais simples, encontradas no passo anterior. Pra resolver cada uma delas, teremos que usar integração por partes:

int_()^() 1 . [ln (4 + y^2)] d y = y ln ( 4 + y^2 ) - int_()^() y . (2 y)/(4 + y^2) d y = y ln (4 + y^2) - int_()^() (2 y^2 + 8 - 8)/(4 + y^2) d y = y ln (4 + y^2) - int_()^() (2 (4 + y^2) - 8)/(4 + y^2) d y = y ln (4 + y^2) - int_()^() 2 - (8)/(4 + y^2) d y = y ln (4 + y^2) - 2 y + int (2)/(1 + ((y)/(2))^2) d y = y ln (4 + y^2) - 2 y + 4 a r c t g ((y)/(2)) + C

Passo 3

Show! De modo bem análogo, faremos a outra integral:

int_()^() 1 . [ln (1 + y^2)] d y = y ln ( 1 + y^2 ) - int_()^() y . (2 y)/(1 + y^2) d y = y ln (1 + y^2) - int_()^() (2 y^2 + 2 - 2)/(1 + y^2) d y = y ln (1 + y^2) - int_()^() (2 (1 + y^2) - 2)/(1 + y^2) d y = y ln (1 + y^2) - int_()^() 2 - (2)/(1 + y^2) d y = y ln (1 + y^2) - 2 y + 2 a r c t g y + C

Passo 4

Agora é só aplicar os limites da integração nas integrais que já achamos:

(1)/(2) [int_0^1 ln (4 + y^2) d y - int_0^1 ln (1 + y^2) d y] = (1)/(2) [y ln (4 + y^2) - 2 y + 4 a r c t g ((y)/(2)) - y ln (1 + y^2) + 2 y - 2 a r c t g y]_0^1 = (1)/(2) [ln 5 + 4 a r c t g ((1)/(2)) - ln 2 - 2 a r c t g 1] = (1)/(2) ln ((5)/(2)) + 2 a r c t g ((1)/(2)) - (pi)/(4)

Resposta

(1)/(2) ln ((5)/(2)) + 2 a r c t g ((1)/(2)) - (pi)/(4)

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