1.

Seja w = f ( x , y , z ) uma função de três variáveis independentes. Use a definição para encontrar ∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) para a função

f x , y , z = - 2 x y 2 + y z ²

Resolução
2.

Considere a função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

Resolução
3.

Considere a função

f x , y = x y ² x 2 + y 2 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

Resolução
4.

Use a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais da função

f x , y = 1 - x + y - 3 x ² y

No ponto 1,2 .

Resolução
5.

Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

Resolução
6.

Seja f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 3 .

  1. Calcule ∂ f ∂ x x , y para todo x , y ∈ R 2 .
  2. Verifique se a função ∂ f ∂ x é ou não contínua em 0 ,   0 .

(Justifique todas as passagens.)

Resolução
7.

O objetivo deste exercício é examinar uma função de classe C ¹ para a qual a tese do teorema de Schwarz falha: as derivadas parciais mistas não são iguais. Seja

z = f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Prove que f se anula sobre os eixos x e y . Conclua então que ∂ f ∂ x ( 0,0 ) e ∂ f ∂ y ( 0,0 ) são iguais a zero.
  2. Calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para pontos ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) e conclua que ∂ f ∂ x 0 , y = - y e ∂ f ∂ y x , 0 = x
  3. Mostre que ∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x 0,0 = lim y → 0 ⁡ ∂ f ∂ x 0 , y - ∂ f ∂ x 0,0 y - 0 = - 1
  4. Mostre que ∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y 0,0 = lim x → 0 ⁡ ∂ f ∂ y x , 0 - ∂ f ∂ y 0,0 x - 0 = + 1 e conclua que as derivadas parciais mistas de f não são igual em ( 0,0 )
  5. Calcule ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( x , y ) para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) .
  6. Use o item anterior para mostrar que ∂ 2 f ∂ x ∂ y x , x = 0 para x > 0 .
  7. Conclua que ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( x , y ) é descontínua na origem ( 0,0 ) e assim f não é uma função de classe C ² . Logo, a hipótese do teorema de Schwarz (a saber, f é uma função de classe C ² ) não se verifica.
Resolução
8.

Mostre que a função:

f x , y = x 3 y 2 x 4 + y 4 ( x , y ) ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

É contínua no ponto 0,0 . Determine as derivadas parciais f x 0,0 e f y 0,0 .

Resolução
9.

Seja

f x , y = x + 2 y x 2 + y 2 ,     x , y ≠ 0,0 . 0 ,     x , y = 0,0 .

1. Faça um esboço do conjunto Z = x , y ∈ R 2 ,   f x , y = 1 .

2. Determine se a função f é contínua na origem.

3. Calcule, se existirem, as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0 .

Resolução
10.

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.
Resolução
11.

A tabela abaixo representa os valores, em alguns pontos, da função f   :   R 2 → R que admite derivadas parciais segundas contínuas:

  1. Estime os valores de ∂ f ∂ x 5,10 e ∂ f ∂ x 5,2 0
  2. Estime o valor de ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 5,10 ) . Dica: olhe para uma tabela de estimativas de ∂ f ∂ x .

Observação: tais estimativas devem ser coerentes com o que vimos em sala e não meras adivinhações.

Resolução
12.

Seja f   : R 2 → R a função definida por

f 0,0 = 0

f x , y = 5 x 2 y x 4 + 2 y 2         ,       s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Indique a afirmativa falsa:

  1. f ( x , y ) é constante ao longo da parábola y = x 2
  2. f ( x , y ) é constante e igual a zero ao longo das retas y = 0 e x = 0
  3. f ( x , y ) é constante ao longo da reta y = x
  4. f ( x , y ) é descontínua na origem
  5. As derivadas parciais f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem e são iguais a zero.
Resolução
13.

Considere a função real de duas variáveis reais dada por

f u , v = 2 u 2 + v 2 u - v   ,   u ≠ v 0   ,   u = v

  1. Em quais pontos f admite derivadas parciais de primeira ordem? Determine ∂ f ∂ u e ∂ f ∂ v nestes pontos.
  2. Há pontos nos quais f não possui derivadas parciais? Justifique.
Resolução
14.

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0

a) Esboce, no sistema de coordenadas cartesiano, as curvas e nível 1 e 2 de f .

b) A função f é contínua em 0,0 ? Justifique.

c) Determine, caso exista, ∇ f 0,0 .

Resolução

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