Enunciado

Use a definição 9 para mostrar que lim x → ∞ ⁡ e x = ��� .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e x = ∞

Para isso, o enunciado quer que utilizemos a seguinte definição:

“Seja f uma função definida em algum intervalo a , ∞ . Então

lim x → ∞ ⁡ f x = ∞

significa que para todo positivo M existe um correspondente número positivo N tal que

se x > N então f x > M ”.

Nesse sentido, comparando os limites, podemos inferir que:

f x = e x

Ahh, lembre-se também da seguinte propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ e a = a

Agora vamos aplicar essa definição!! 😉

Passo 2

Suponha dado M > 0 .

Precisamos de N > 0 de tal modo que x > N , então

e x > M

Então, aplicando a propriedade dos logaritmos, temos:

ln ⁡ e x > ln ⁡ M ∴

x > ln ⁡ M

Passo 3

Precisamos escolher um valor para N de modo que a função e ^ x seja maior que M para todo x maior que esse valor.

Assim, escolhemos N como o máximo entre 1 e l n ( M ) , garantindo que seja grande o suficiente para lidar com M mesmo quando M é muito pequeno:

N = m a x ⁡ ( 1 , ln ⁡ M )

Então,

x > N = m a x ⁡ ( 1 , ln ⁡ M )

Passo 4

Daí, aplicando na função, temos:

e x ≥ max ⁡ e , M ≥ M

Perceba que max ⁡ e , M representa o maior valor entre e x e M .

Sabemos que e x é uma função exponencial que cresce exponencialmente à medida que x aumenta.

Portanto, para x suficientemente grande, e x será maior que e, pois e x é sempre maior que e .

Assim, para x suficientemente grande, e x será maior ou igual a max ⁡ e , M .

E como max ⁡ e , M ≥ M , então e x será igual ou maior que M .

Portanto, pela definição 9, sabemos que:

lim x → ∞ ⁡ f x = ∞

Então,

lim x → ∞ ⁡ e x = ∞

Resposta

Demonstração

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63) De uma definição para cada um dos limites:c ) underset(x - - oo)(lim) f (x) = - oo
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Nos exercícios de 57 a 60 , prove que lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 , aplicando a Definição 2.5 . 1 ; isto é, dado ε0 , mostre que existe um número N0 tal que se xN , então f x - 1ε . 60 )f x = x 2 + 2 x x 2