Demonstre, usando a definição 9, que

lim x → ∞ ⁡ x 3 = ∞

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos eu e você utilizarmos da definição 9 para provar o limite que nos foi dado.

A definição 9 diz que:

Seja f uma função com o domínio ( a , ∞ ) . Então:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = ∞

Se existir qualquer numero positivo M, então existe um numero N tal que:

Se x > N então f x > M

Passo 2

Para provar que lim x → ∞ ⁡ x 3 = ∞

Nós precisamos provar que para todo M , existe um N tal que:

Se x > N então x 3 > M

x 3 > M

M é um numero positivo, então podemos escrever M = N 3 . Onde N é outro numero positivo.

Subtraindo N 3 em ambos os lados:

x 3 - N 3 > 0

Nós iremos utilizar

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Porém

x - N x 2 + x ∙ N + N 2 > 0

x - N x 2 + x ∙ N + N 2 > 0 é um numero positivo, por conta de que x e N são positivos.

Nos é permitido dividir ambos os lados da inequação por um numero positivo. Dividindo ambos por x 2 + x ∙ N + N 2 , encontramos:

x - N > 0

x > N

Para cada M , existe N , tal que

M = N 3

Então provamos o que nos foi pedido.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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