Enunciado

Demonstre, usando a definição 9, que

underset(x -> oo)(lim) x^3 = oo

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos eu e você utilizarmos da definição 9 para provar o limite que nos foi dado.

A definição 9 diz que:

Seja f uma função com o domínio ( a , oo ) . Então:

underset(x -> oo)(lim) f ( x ) = oo

Se existir qualquer numero positivo M, então existe um numero N tal que:

Se x > N então f (x) > M

Passo 2

Para provar que underset(x -> oo)(lim) x^3 = oo

Nós precisamos provar que para todo M , existe um N tal que:

Se x > N então x^3 > M

x^3 > M

M é um numero positivo, então podemos escrever M = N^3 . Onde N é outro numero positivo.

Subtraindo N^3 em ambos os lados:

x^3 - N^3 > 0

Nós iremos utilizar

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + a b + b^2)

Porém

(x - N) (x^2 + x * N + N^2) > 0

(x - N) (x^2 + x * N + N^2) > 0 é um numero positivo, por conta de que x e N são positivos.

Nos é permitido dividir ambos os lados da inequação por um numero positivo. Dividindo ambos por (x^2 + x * N + N^2) , encontramos:

(x - N) > 0

x > N

Para cada M , existe N , tal que

M = N^3

Então provamos o que nos foi pedido.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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