Enunciado

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Use a derivação implícita para determinar d y / d x em

e 2 x = s e n ( x + 3 y )

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

e 2 x ' = [ s e n ( x + 3 y ) ] '

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

e 2 x ⋅ 2 x ' = cos ⁡ x + 3 y ⋅ [ x + 3 y ] '

e 2 x ⋅ 2 = cos ⁡ x + 3 y ⋅ 1 + 3 ⋅ d y d x '

d y d x = 2 e 2 x - cos ⁡ ( x + 3 y ) 3 cos ⁡ x + 3 y

Resposta

d y d x = 2 e 2 x - cos ⁡ ( x + 3 y ) 3 cos ⁡ x + 3 y

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Nos Exercicios de 1 a 28, ache d y d x por derivação implícita7. x + y
Encontre d y / d x derivando implicitamente. x 2 + y 3 = 1
a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicit
Encontre d y / d x derivando implicitamente. 1 + x = s e n ( x y 2 )