Enunciado

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

e^(2 x) = s e n ( x + 3 y )

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[e^(2 x)]^' = [ s e n ( x + 3 y ) ]^'

Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

e^(2 x) * [2 x]^' = cos (x + 3 y) * [ x + 3 y ] '

e^(2 x) * 2 = cos (x + 3 y) * [1 + 3 * (d y)/(d x)]^'

(d y)/(d x) = (2 e^(2 x) - cos ( x + 3 y ))/(3 cos (x + 3 y))

Resposta

(d y)/(d x) = (2 e^(2 x) - cos ( x + 3 y ))/(3 cos (x + 3 y))

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