Enunciado

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

j) y + ln ⁡ x 2 + y 2 = 4

Passo 1

Quando vemos função implícita eu aconselho você a pisar um pouco no freio. Aqui é uma parte mais avançada de calculo. Se dermos mole podemos passar por alto em detalhes aqui. Existem funções que derivar diretamente seria fácil, Mas o intuito de exercícios assim é testar nossas habilidades com a regra da cadeia. Vamos derivar os dois membros da equação em relação a x :

Vamos usar a ideia de que

y   = f x

Então por exemplo

y 3 =   f 3   x

d d x   y 3 = 3 f 2 x * f ' ( x )

É justo nessa parte que entra a regra da cadeia, fica esperto ; ). Então vamos la :

d d x y + ln ⁡ x 2 + y 2 = d d x 4

d y d x + 1 x 2 + y 2 d d x x 2 + y 2 = 0

d y d x + 1 x 2 + y 2 2 x + 2 y d y d x = 0

x 2 + y 2 d y d x + 2 x + 2 y d y d x = 0

Vamos deixar em evidencia d y / d x   :

d y d x   x 2 + y 2 + 2 y = - 2 x

d y d x = - 2 x x 2 + y 2 + 2 y

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

d y d x = - 2 x x 2 + y 2 + 2 y

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Encontre y ' ' por derivação implícita. x 2 + 4 y 2 = 4
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a) Encontre y ' derivando implicitamente.b) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y ' em função de x .c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, sub
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Encontre y ' a derivada implícita de x y = x ² + y ² ² ²: