Enunciado

Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

h) x 2 y 3 + x y = 2

Passo 1

Quando vemos função implícita eu aconselho você a pisar um pouco no freio. Aqui é uma parte mais avançada de calculo. Se dermos mole podemos passar por alto em detalhes aqui. Existem funções que derivar diretamente seria fácil, Mas o intuito de exercícios assim é testar nossas habilidades com a regra da cadeia. Vamos derivar os dois membros da equação em relação a x :

Vamos usar a ideia de que

y   = f x

Então por exemplo

y 3 =   f 3   x

d d x   y 3 = 3 f 2 x * f ' ( x )

É justo nessa parte que entra a regra da cadeia, fica esperto ; ). Então vamos la :

d d x x 2 y 3 + x y = d d x 2

2 x y 3 + x 2 3 y 2 d y d x + 1 y + x d y d x = 0

Vamos deixar em evidencia d y / d x   :

3 x 2 y 2 + x d y d x = - 2 x y 3 - y

d y d x = - 2 x y 3 + y 3 x 2 y 2 + x

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

d y d x = - 2 x y 3 + y 3 x 2 y 2 + x

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Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro ( 2,0 ) e raio 2 nos pontos de abscissa 1 .
Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2 x 3 é perpendicular a reta 4 x - 3 y + 1 = 0 .
18. Calcular y ' = d y d x das sequintes funções definidas implicitamentea) x 3 + y 3 = a 3 b) x 3 + x 2 y + y 2 = 0 c) x + y = a d) y 3 = x - y x + y e) a cos 2 ⁡ ( x + y ) = b f) tg ⁡ y = x y e) e y
18. Calcular y ' = d y d x das sequintes funções definidas implicitamentea) x 3 + y 3 = a 3 b) x 3 + x 2 y + y 2 = 0 c) x + y = a d) y 3 = x - y x + y e) a cos 2 ⁡ ( x + y ) = b f) tg ⁡ y = x y g) e y
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