Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.5 - Ex. 28

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado.

x 2 + 2 x y - y 2 + x = 2 , ( 1 , 2 ) (hipérbole)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por uma equação em um determinado ponto. Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação. Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta). Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência. Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Passo 2

Derivando a equação implicitamente com relação a x :

2 x + 2 ⋅ 1 ⋅ y + 2 x ⋅ y ' - 2 y ⋅ y ' + 1 = 0

Então,

2 x + 2 y + 2 x y ' - 2 y y ' + 1 = 0

Passo 3

Como o ponto de interesse é x 0 ,   y 0 = ( 1 , 2 ) , devemos substituir x = 1 e y = 2 na equação encontrada no passo 2:

2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ y ' - 2 ⋅ 2 ⋅ y ' + 1 = 0

2 + 4 + 2 y ' - 4 y ' + 1 = 0

2 y ' = 7

y ' = 7 2

Assim, o coeficiente angular da reta tangente será m = - 7 / 2 .

Passo 4

Agora basta substituir o ponto e a inclinação na equação da reta:

y - 2 = 7 2 ⋅ ( x - 1 )

2   y - 2 = 7 ( x - 1 )

2 y - 4 = 7 x - 7

7 x - 2 y - 3 = 0

Resposta

R: 7 x - 2 y - 3 = 0 .

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