Enunciado

Uma partícula se move ao longo de uma reta com equação de movimento s = f ( t ) , em que s é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade e a velocidade escalar quando t = 5 .

f t = t - 1 - t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

Essa é uma questão sobre cálculo aplicado à cinemática, muito importante nas disciplinas de física que aparecem nos cursos de exatas. Para resolvê-la, temos que ter duas coisas em mente: que a velocidade é a derivada da posição e que a derivada de uma função em um ponto t é dada por:

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h

Como, ao derivarmos nossa expressão, vamos ter uma velocidade, se encontrarmos f ' 5 ,   teremos a velocidade no tempo t = 5 , beleza?

E é isso que o enunciado nos pede: a velocidade f ' ( t ) e a velocidade no instante t = 5 , ou seja, f ' ( 5 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, iremos encontrar f ( t + h ) e f t para jogar na fórmula da derivada, saca só:

f t + h = t + h - 1 - t + h

f t + h = 1 t + h - ( t + h )

Nós temos o f ( t ) :

f t = t - 1 - t

f t = 1 t - t

Agora a gente vai substituir f ( t ) e f ( t + h ) no nosso limite, tranquilo? Sigam-me os bons e bora meter ficha:

f ' t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - ( t + h ) - 1 t - t h

Vamos dar mais uma mexida nessa expressão, tentando deixar ela de uma forma mais amigável. Primeiro vamos substituir a divisão por h por uma multiplicação por 1 h :

f ' t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - t + h - 1 t - t ∙ 1 h

Agora, fazendo o jogo de sinal e rearrumando os termos, vai ficar isso aqui:

f ' t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - 1 t + t - t - h ∙ 1 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 1 t + h - 1 t - h ∙ 1 h

Agora, bora encontrar o MMC dessa galera toda! Vai ficar assim:

f ' t = lim h → 0 ⁡ t - t + h - h ∙ t + h ∙   t t + h   ∙   t ∙ 1 h

Agora a gente vai fazer as continhas no numerador, começando pelas multiplicações! Acompanha:

f ' t = lim h → 0 ⁡ t - t + h - t 2 h + t h 2 t + h ∙   t . 1 h

Agora o jogo de sinal:

f ' t = lim h → 0 ⁡ t - t - h - t 2 h - t ∙ h 2 t + h ∙   t ∙ 1 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ - h - t 2 h - t ∙ h 2 t + h ∙   t ∙ 1 h

Pronto, desenvolvemos bastante a nossa expressão! E já podemos ir para o próximo passo!

Passo 3

Agora, iremos resolver esse limite. Primeiro, fazemos a substituição h = 0 , mas isso resultará em uma indeterminação 0 0 . Para resolver esse problema, vou colocar o h em evidência no numerador, assim podemos cancelar com o h do denominador, beleza? Olha só no que vai dar:

f ' t = lim h → 0 ⁡ - 1 - t 2 - t ∙ h t + h ∙ t ∙ h h

f ' t = lim h → 0 ⁡ - 1 - t 2 - t ∙ h t + h ∙ t

Agora a nossa indeterminação já era! Vamos fazer a substituição h = 0 para resolver o limite e obter nossa velocidade:

f ' t = - 1 - t 2 - t ∙ 0 t + 0 ∙ t

f ' t = - 1 - t 2 t 2

Passo 4

De posse dá expressão que encontramos, só precisamos fazer t = 5 e tudo certo, teremos a velocidade no instante pedido. Substituindo:

f ' 5 = - 1 - 5 2 5 2

f ' 5 = - 1 - 25 25

f ' 5 = - 26 25 = - 1,04   m / s

E essa é a nossa velocidade em t = 5 !

Mas a velocidade escalar é o módulo do nosso resultado. Como temos um número negativo, a velocidade escalar vai ser:

f ' 5 = - 26 25 = 26 25 = 1,04   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' t = - 1 - t 2 t 2

1,04   m / s

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Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados d )f x = 1 x ; p = 1
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Calcule f ' ( x ) , pela definição. f )f x = 10