Enunciado

Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a soma das coordenadas das interseções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .

Para isso, precisamos lembrar que a equação de uma reta tangente em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) é dada por:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Onde o coeficiente angular da reta é a derivada y ' . E como a nossa equação é tem o y implícito, isso significa que vamos ter que usar a derivação implícita.

Assim, encontrada a equação da reta tangente, vamos encontrar a interseção com os eixos fazendo x = 0 e y = 0 na equação. Então, somamos as duas expressões e verificamos se o resultado é igual a c .

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação:

d d x x + y = d d x ( c )

Então, derivando implicitamente em relação a x , temos:

1 2 x + y ' 2 y = 0

Agora, queremos isolar y ' , que é o coeficiente angular da reta tangente. Isolando, temos:

y ' 2 y = - 1 2 x

y ' = - y x

Passo 3

Agora substituindo y ' na equação da reta, vamos ter:

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

y - y 0 = - y x ( x - x 0 )

Então, no ponto x 0 ,   y 0 , temos a seguinte expressão:

y - y 0 = - y 0 x 0 ( x - x 0 )

Passo 4

Para encontrar a intersecção dos eixos, iremos igualar x = 0 e y = 0 na expressão anterior.

Para   x = 0 , temos:

y - y 0 = - y 0 x 0 ( - x 0 )

y = y 0 + y 0 x 0

E para y = 0 , temos:

- y 0 = - y 0 x 0 ( x - x 0 )

x = x 0 + y 0 x 0

Somando as duas intersecções, vamos ter a seguinte expressão:

y + x = y 0 + y 0 x 0 + x 0 + y 0 x 0

y + x = y 0 + x 0 + 2 y 0 x 0

Veja que a expressão encontrada é a expansão de um quadrado perfeito na forma:

( y 0 + x 0 ) 2

Mas sabemos do enunciado que:

x + y = c

Então, substituindo na equação, temos:

y + x = y 0 + x 0 2

y + x = c 2

= c

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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