Enunciado

Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto P , a um círculo com centro O é perpendicular ao raio O P .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que que qualquer reta tangente em um ponto qualquer de um círculo é perpendicular ao raio O P , que liga o centro O ao ponto P .

Para isso, precisamos utilizar a derivação implícita para derivar a equação da circunferência:

x 2 + y 2 = r 2

Dessa forma, vamos encontrar y ' , que é o coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Então, vamos isolar y ' e comparar com o coeficiente angular do raio O P . Se um coeficiente angular for a recíproca negativa do outro, então poderemos dizer que as retas são perpendiculares.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando implicitamente a equação do círculo x 2 + y 2 = r 2 :

2 x + 2 y y ' = 0

Lembrando que r é o raio do círculo, que é uma constante, por isso sua derivada é zero.

y ' é o coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Então, isolando y ' , temos

y ' = - x y

Sendo assim, o coeficiente angular da reta no ponto ( x 0 ,   y 0 )   é:

y ' = - x 0 y 0

Passo 3

Agora vamos encontrar o coeficiente angular do raio do círculo ( O P ), utilizando a seguinte fórmula:

m = y - y 0 x - x 0

Para o ponto P = ( x 0 ,   y 0 ) e com círculo centrado na origem, O = ( 0 ,   0 ) , temos:

m = y 0 x 0

Que é a recíproca negativa do coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Em outras palavras, a inclinação da reta tangente e do raio O P é a mesma. Dessa forma, o raio O P e a reta tangente são perpendiculares.

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , ( 0 , 1 / 2 ) (cardioide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4 , ( - 3 3 , 1 ) (astroide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3 , 1 ) (lemniscata)
a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Ecnontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tan