Enunciado

Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função.

y = e x ln ⁡ ( 1 - x )

Passo 1

Já conhecemos a série de e x , então vamos calcular a de ln ⁡ ( 1 - x ) .

Primeiro derivando o logaritimo

ln ⁡ 1 - x ' = - 1 1 - x = - ∑ n = 0 ∞ x n

Então, integrando dos dois lados

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 0 ∞ ∫ x n d x

ln ⁡ 1 - x = C - ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1

Para calcular a constante, vamos substituir x = 0 , sabendo que neste ponto a série zera

ln ⁡ 1 - 0 = C - 0

C = 0

Então temos que

ln ⁡ 1 - x = - ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 = - x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Então temos

y = - 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + … x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + …

Passo 2

Fazendo a multiplicação com os três primeiros termos, teremos termos de até sexto grau, mas como só queremos os três primeiros termos do resultado, ficaremos apenas com os termos de até terceiro grau, que vai ser o terceiro termo da série resultado.

Para organização, ficaremos com termos de graus iguais em uma mesma coluna.

×

1 + x + x 2 2 + x 3 6 …                          

x + x 2 2 + x 3 3 - …

+

x + x 2 + x 3 2 + …

                x 2 2 + x 3 2 + …

                            + x 3 3 - …

x + 3 x 2 2 + 4 x 3 3 + …

Como temos um menos fora da multiplicação, temos que

y = - x + 3 x 2 2 + 4 x 3 3 + …

Resposta

y = - x + 3 x 2 2 + 4 x 3 3 + …

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