Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ se n 5 ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x 5 com   sen ⁡ x 3 , então vamos fazer

u = sen ⁡ x 3

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = sen ⁡ x 3 → d u = sen ⁡ x 3 ' d x = 1 3 cos ⁡ x 3 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ sen 5 ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 d x

O primeiro termo é o próprio u elevado a 5 . Então,

∫ u 5 cos ⁡ x 3 d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo:

d u = 1 3 cos ⁡ x 3 d x → 3 d u = 3 1 3 cos ⁡ x 3 d x → 3 d u = cos ⁡ x 3 d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ u 5 cos ⁡ x 3 d x = ∫ u 5 ( 3 d u ) = 3 ∫ u 5 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

3 ∫ u 5 d u = 3 u 6 6 + C = u 6 2 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ sen 5 ⁡ x 3 cos ⁡ x 3 d x = sen ⁡ x 3 6 2 + C

Resposta

sen ⁡ x 3 6 2 + C

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