Enunciado

  1. Use evidências numéricas e gráficas para fazer uma conjectura sobre o valor do limite
  2. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

  3. A que distância de 1 deverá estar x para garantir que a função da parte (a) esteja a uma distância de 0,5 de seu limite?

Passo 1

Fala aí, meus amores!

Aqui temos que calcular o seguinte limite pelo gráfico e numericamente:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1

Mas se a gente substituir x = 1 na expressão vamos ter uma indeterminação

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = 0 0

Então vamos ter que manipular e simplificar essa equação pra achar o resultado. Já vou dar uma dica! Repara que temos uma diferença de cubos no numerador e isso aí a gente pode fatorar!

Depois vamos comparar esse resultado com o que a gente visualizar no gráfico.

No item (b) a gente quer saber o quão perto x precisa estar de 1 pra que o a função esteja a uma distância de 0,5 do seu limite. Calma, não se assusta! A simplesmente vai olhar no gráfico quais pontos estão a essa distância.

Bom, mas vamos primeiro pro passo 2, calcular o nosso limite.

Passo 2

Vamos lembrar dessa maravilhosa fatoração clássica que temos aqui:

a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Aplicando no numerador da nossa expressão:

x 3 - 1 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

E agora a gente vai dar uma forçada de barra aqui e dizer que esse primeiro termo é uma diferença de quadrados!

Meu deus, Iasmin, mas de onde vem uma ideia dessa?

Vem do denominador. A gente precisa se livrar dele pra acabar com a indeterminação. E como tem um x ali e 1 2 = 1 , a gente pode reescrever x - 1 assim:

x - 1 = x 2 - 1 2

Agora podemos aplicar essa outra fatoração aqui:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Na nossa expressão:

x - 1 = x 2 - 1 2 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

OPAAAA! NUM É QUE APARECEU UM TERMO IGUALZINHO AO DENOMINADOR!

Vamos substituir isso tudo no nosso limite!

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x - 1

E como x → 1 , ele nunca vai ser igual a 1, então podemos simplificar esse termo (é tudo amarradinho aqui!)

E nosso limite se torna

lim x → 1 ⁡ x + 1 ( x 2 + x + 1 ) = 2 ∙ 3 = 6

Uhuuulll!!! Agora vamos pro gráfico!

Passo 3

Bom, pra traçar uma função dessa, a gente realmente vai ter que usar um software, não vai ter jeito.

Por conta desse denominador que não pode ser zero, a função tem uma descontinuidadezinha ali no x = 1

Mas isso não influencia o nosso limite, porque o limite não é o valor da função, mas o valor que ela se aproxima quando x se aproxima de 1.

E quando x se aproxima de 1, f ( x ) se aproxima de 6, então:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 = 6

Uhuuull, achamos o mesmo valor!

Passo 4

Agora, no item (b) a gente quer saber o quão perto x precisa estar de 1 pra que o a função esteja a uma distância de 0,5 do seu limite.

Bom, se o limite que calculamos é lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 6

queremos que:

f x = 5 , 5

f x = 6,5

Agora basta encontrarmos no gráfico da função valores de x tal que f x = 5,5 e f x = 6,5 .

Analisando o gráfico, podemos concluir que

x = 0,93   e   x = 1,07

Porém, o problema nos pede a que distância devemos estar de 1, então, basta fazermos o seguinte cálculo para os dois valores de x encontrados

d 1 = 1 - 0,93 = 0,07

d 2 = 1 - 1,07 = 0,07

Então, para garantir que a função esteja a 0,5 de distância do valor do limite calculado, basta que x esteja a 0,07 de distância de 1

Resposta

  1. lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 6
  2. x deve estar a 0,07 de distância de 1
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Exercícios de Livros Relacionados

Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(x - 2)(lim) ( - x^2 + 5 x - 2 )
Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(y - 2)(lim) (y + 2)/(y^2 + 5 y + 6)
Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(x - 2)(lim) (x + 3)/(x + 6)
Determine os limites nos Exercícios 11-22.underset(x - - 1)(lim) 3 (2 x - 1)^2
Nos exercícios 5 e 6, explique por que o limite não existe. lim x → 1 ⁡ 1 x - 1