Enunciado

  1. Use o exercício 83 para mostrar que o ângulo entre a reta tangente e a reta tadial é ψ = π 4 em cada ponto na curva r = e θ .
  2. Ilustre a parte ( a ) traçando, com uma ferramenta gráfica, a curva e a reta tangente aos pontos onde θ = 0 e θ = π 2
  3. Demonstre que qualquer curva polar r = f ( θ ) com a propriedade de que o ângulo ψ entre a reta radial e a reta tangente é uma constante deve ser do tipo r = C e k θ , onde C e k são constantes.

Passo 1

a )

Do exercício 83 concluimo que

tan ⁡ ψ = r d r d θ

Ou seja, a tangente entre o ângulo entre a reta tangente e a reta tadial é dada pela razão entre r e a derivada de r em relação a θ .

Passo 2

Se aqui temos que

r = e θ

Então

d r d θ = e θ

Assim

tan ⁡ ψ = r d r d θ = e θ e θ = 1

E o ângulo cuja tangente é 1 é π 4 , logo

ψ = π 4

Passo 3

b )

Traçando a curva a curva, temos

Passo 4

Agora vamos achar as equações das retas tangentes nos pontos correspondentes a θ = 0 e θ = π 2 .

A inclinação da reta tangente é:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Assim,

d y d x = e θ sen ⁡ θ + e θ cos ⁡ θ e θ cos ⁡ θ - e θ sen ⁡ θ

Quando θ = 0 , temos

d y d x = e 0 sen ⁡ 0 + e 0 cos ⁡ 0 e 0 cos ⁡ 0 - e 0 sen ⁡ 0 = 1

E quando θ = π 2 , temos

d y d x = e π 2 sen ⁡ π 2 + e π 2 cos ⁡ π 2 e π 2 cos ⁡ π 2 - e π 2 sen ⁡ π 2 = - 1

Passo 5

Além disso precisamos descobrir quando valem x e y quando θ = 0 e θ = π 2 .

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então, quando θ = 0 , temos

x = e 0 cos ⁡ 0 = 1

y = e 0 sen ⁡ 0 = 0

E quando θ = π 2 , temos

x = e π 2 cos ⁡ π 2 = 0

y = e π 2 sen ⁡ π 2 = e π 2

Passo 6

As equações das retas tangentes são:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 0 = 1 ( x - 1 )

y = x - 1

E

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - e π 2 = - 1 ( x - 0 )

y = - x + e π 2

Passo 7

Traçando essas duas retas junto com o gráfico que traçamos no passo 3:

Passo 8

c )

Vamos chamar

tan ⁡ ψ = a

Assim,

a = r d r d θ

d r d θ = 1 a r

E temos uma EDO separável para resolver.

Passo 9

Pra resolver isso, multiplicando cruzando:

d r r = 1 a d θ

Integrando de ambos os lados:

∫ d r r = ∫ 1 a d θ

ln ⁡ r + c 1 = 1 a θ + c 2

Lembrando que 1 a é uma constante.

Falando em constante, vamos juntar as constantes c 1   e   c 2 e vamos isolar o r :

ln ⁡ r = 1 a θ + C

r = e 1 a θ + C

r = e 1 a θ ∙ e C

E se a gente chamar e C = C e 1 a = k ficamos com a mesma notação da questão e chagamos exatamente onde ela nos pediu:

r = C e k θ

Resposta

b )

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