Responde Aí

Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

r = 2 cos ⁡ θ

r = 1

Passo 1

Vamos plotar nossas curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, já que queremos a área não da primeira curva nem da segunda curva, mas sim da região delimitada entre a primeira e a segunda.

Para isso, igualamos as duas curvas:

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

θ = π 3

Ou

θ = 5 π 3

Assim, esses são os dois valores de θ no qual as curvas se intersectam, logo, vai ser o intervalo no qual nossa região de interesse está definida:

π 3 ≤ θ ≤ 5 π 3

Então, o intervalo de integração é

a = π 3

b = 5 π 3

Maaaas, se você reparar, nossa região sombreada é simétrica!

Logo, podemos dividir ela em duas e calcular a área de 0 até θ = π 3 e depois multiplicar por dois pra ter a área total, o que acham?

Isso vai facilitar nossa vida na hora de fazer a integral!!

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Mas como queremos descobrir a área entre a primeira e a segunda curva, vê se faz sentido pra vocês que a gente faça a área da curva de fora menos a área da curva de dentro?

Faz né?!

Assim, vamos ter dois r , porque vamos ter duas áreas, ou seja, duas integrais, a da curva de fora e a da curva de dentro.

r = 2 cos ⁡ θ

r = 1

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 2 cos ⁡ θ 2 d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 3 4 cos 2 ⁡ θ d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

A 1 = 4 2 ∫ 0 π 3 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

A 1 = 4 2 ∫ 0 π 3 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ - 1 2 ∫ 0 π 3 1 d θ

A 1 = 2 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ π 3 0 - 1 2 θ π 3 0

A 1 = 2 1 2 ∙ π 3 + 1 4 sen ⁡ 2 π 3 - 1 2 ∙ 0 + 1 4 sen ⁡ 0 π 3 0 - 1 2 π 3 - 0 π 3 0

A 1 = 2 π 6 + 1 4 3 2 - 0 + 1 4 0 π 3 0 - π 6

A 1 = 2 π 6 + 3 8 - π 6

A 1 = 2 π 6 + 3 4 - π 6

A 1 = π 6 + 3 4

Assim, a área total da curva é

A = 2 × A 1 = π 3 + 3 2

Resposta

A = π 3 + 3 2

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