Enunciado

Use o fato de que

d [ x l n 2 - x ] d x = ln ⁡ 2 - x - x 2 - x

Para mostrar que a equação x = 2 - x l n ⁡ ( 2 - x ) tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0,1 ) .

Passo 1

Já que o enunciado deu a derivada de uma função para a gente, podemos tentar usar essa função no Teorema do Valor Médio para provar o que ele pediu. Essa é carinha do Teorema:

f ' c = f b - f a b - a

A função é:

f x = x I n ( 2 - x )

E a derivada:

f ' x = ln ⁡ 2 - x - x 2 - x

Para usar o Teorema do Valor Médio precisamos garantir que nossa função é contínua e diferenciável no intervalo dado, que é entre 0 e 1 .

Olhando para nossa função, a gente vê que só dá problema se x = 2 , porque está fora do domínio da derivada e da função. Como isso é fora do nosso intervalo, está tranquilo, Podemos seguir!

Passo 2

Vamos montar nosso Teorema: Já que nosso intervalo é ( 0,1 ) , podemos dizer que a = 0 e b = 1 . E usando a nossa função f ( x ) :

f a = 0

f b = f 1 = 0

E a gente sá sabe que f ' x = ln ⁡ 2 - x - x 2 - x .

Pelo Teorema, podemos dizer então que:

f ' x = f b - f a b - a

ln ⁡ 2 - x - x 2 - x = 0 1 ∴ ln ⁡ 2 - x = x 2 - x

Isolando o x :

x = 2 - x I n ( 2 - x )

Isso é exatamente a equação que precisamos provar que tem solução! Como essa relação que a gente achou veio do Teorema, que para as condições dadas, tem pelo menos uma solução, essa equação tem pelo menos uma solução nesse intervalo. 😊

Resposta

  prova nos passos

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Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = s e n2 π x;[ - 1,1 ]