Enunciado

Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Então encontre todos os numero c que satisfazem a conclusão do teorema de Rolle.

f x = x x + 6 ,     [ - 6,0 ]

Passo 1

Primeiramente, temos que verificar que nossa função é continua no intervalo fechado [ - 6,0 ] . A função que ele nos deu foi:

f x = x x + 6

A função f é continua em todo seu domínio. Então, basta vermos se o intervalo que ele nos deu está no domino de f . A única restrição que temos é referente a raiz quadrada:

x + 6 ≥ 0

Logo,

x ≥ - 6

Com isso, podemos concluir que a função será continua x ≥ - 6 . Logo, f será continua no intervalo [ - 6,0 ] .

Passo 2

Agora precisamos verificar se f é diferenciável no intervalo aberto - 6,0 . Para isso vamos achar a derivada e ver que ela existe.

f x = x x + 6

Derivando,

f ' x = x + 6 + x 2 x + 6

Agora basta garantirmos que o que está na raiz é maior ou igual a zero e que o denominador é diferente de zero. Assim,

x + 6 > 0 → x > - 6

Portanto, f será diferenciável no intervalo ( - 6,0 ) .

Passo 3

A última verificação f - 6 = f 0 . Então vamos lá!

f - 6 = - 6 ⋅ 0 → f - 6 = 0

f 0 = 0 ⋅ 6 → f 0 = 0

Assim, f - 6 = f ( 0 ) .

Passo 4

Agora basta acharmos os c tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a = 0

Do Passo 2:

f x = x + 6 + x 2 x + 6

Assim,

c + 6 + c 2 c + 6 = 0

Isto é,

2 c + 12 + c 2 c + 6 = 0

Agora basta garantir que o numerador é zero.

3 c + 12 = 0

Resolvendo:

c = - 4

Resposta

c = - 4

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