Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 4
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo dado. Então encontre todos os numero que satisfazem a conclusão do teorema de Rolle.
Passo 1
Primeiramente, temos que verificar que nossa função é continua no intervalo fechado . A função que ele nos deu foi:
A função é continua em todo seu domínio. Então, basta vermos se o intervalo que ele nos deu está no domino de . A única restrição que temos é referente a raiz quadrada:
Logo,
Com isso, podemos concluir que a função será continua . Logo, será continua no intervalo .
Passo 2
Agora precisamos verificar se é diferenciável no intervalo aberto . Para isso vamos achar a derivada e ver que ela existe.
Derivando,
Agora basta garantirmos que o que está na raiz é maior ou igual a zero e que o denominador é diferente de zero. Assim,
Portanto, será diferenciável no intervalo .
Passo 3
A última verificação . Então vamos lá!
Assim, .
Passo 4
Agora basta acharmos os tal que:
Do Passo 2:
Assim,
Isto é,
Agora basta garantir que o numerador é zero.
Resolvendo: